Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AD$.

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt $AMN.A’B’D’$.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $A’B$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

${S_{A’B’D’}} = \frac{{{a^2}}}{2};{S_{AMN}} = \frac{{{a^2}}}{8};{S_{ABCD}} = {a^2};AA’ = a$, suy ra thể tích khối chóp cụt $AMN \cdot A’B’D’$ là:

$V = \frac{1}{3} \cdot AA’ \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A’B’D’}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A’B’D’}}} } \right)$

$= \frac{1}{3} \cdot a \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{a^2}}}{8} \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} } \right) = \frac{{7{a^3}}}{{24}}{\rm{.\;}}$ 

b) Vì $MN//BD$ nên $MN//\left( {A’BD} \right)$, do đó:

$d\left( {MN,A’B} \right) = d\left( {MN,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right).$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right)$.

Đặt $h = d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right)$ thì $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{‘}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}$, suy ra $h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $d\left( {MN,A’B} \right) = d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$.