Giải bài 13 trang 11 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{1}{3}\) với \( – \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\). Tính:

a) \(A = \sin \alpha .\cos \alpha \)                                

b) \(B = \sin \alpha  – \cos \alpha \)

c) \(C = {\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha \)                                  

d) \(D = {\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Suy ra \(A = \sin \alpha .\cos \alpha  = \frac{{{{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}^2} – 1}}{2} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} – 1}}{2} =  – \frac{4}{9}\)

b) Ta có \({B^2} = {\left( {\sin \alpha  – \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  – 2\sin \alpha .\cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 – 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha  =  – \frac{4}{9}\) nên \({B^2} = 1 – 2\left( { – \frac{4}{9}} \right) = \frac{{17}}{9} \Rightarrow B =  \pm \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).

Do \( – \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\) , ta suy ra \(\sin \alpha  < 0\), \(\cos \alpha  > 0\). Từ đó \(B = \sin \alpha  – \cos \alpha  < 0\).

Như vậy \(B =  – \frac{{\sqrt {17} }}{3}\)

c) Ta có \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} = {\sin ^3}\alpha  + {\cos ^3}\alpha  + 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)\)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha  =  – \frac{4}{9}\) nên:

\(C = {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^3} – 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} – 3.\frac{{ – 4}}{9}.\frac{1}{3} = \frac{{13}}{{27}}\).

d) Ta có \({\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)

                                      \( = {\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  + 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)

Theo câu a, ta có \(\sin \alpha .\cos \alpha  =  – \frac{4}{9}\) nên:

\(D = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} – 2{\left( {\sin \alpha .\cos \alpha } \right)^2} = 1 – 2{\left( { – \frac{4}{9}} \right)^2} = \frac{{49}}{{81}}\)