Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 8 – Chương 2 – Hình học 9

Đề bài

Cho đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Một đường thẳng qua A hợp với OO’ một góc 30˚ cắt (O) tại B và (O’) tại C

a. Chứng minh : $\widehat {AOB} = \widehat {AO’C}$ và OB // O’C.

b. Chứng minh tiếp tuyến của (O) tại B và tiếp tuyến của (O’) tại C song song với nhau.

c. Tiếp tuyến của (O’) tại C cắt OO’ tại D. Tính CD và O’D

d. DC cắt BO tại E. Tính ${S_{ABE}}$

Lời giải chi tiết

a. Ta có các tam giác AOB và CO’A cân $\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2} = \widehat B = \widehat C = 30^\circ$

$\Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AO’C} = 180^\circ  – 2.30^\circ$$\,  = 120^\circ$

Do đó OB // O’C (cặp góc so le trong bằng nhau)

b. $Bx ⊥ OB, Cy ⊥ O’C$, mà $OB // O’C ⇒ Bx // Cy$

c. Ta có: $\widehat {CO’D} = 60^\circ$ (kề bù với $\widehat {AO’C} = 120^\circ$ )

Do đó ∆O’CD là nửa tam giác đều mà $O’C = 3cm$ (gt) $⇒ O’D = 6cm.$

Theo định lí Pi-ta-go :

$CD = \sqrt {O'{D^2} – O'{C^2}}  = \sqrt {{6^2} – {3^2}}$$\,= \sqrt {27}  = 3\sqrt 3 \,\left( {cm} \right)$

d. Ta có: $OD = OO’ + O’D = 5 + 3 + 6 = 14$ (cm)

Xét tam giác OED có $\widehat {EDO} = 30^\circ \,\left( {\text{vì }\widehat {CO’D} = 60^\circ } \right),$

$\widehat {EOD} = 60^\circ$ (kề bù với $\widehat {BOA} = 120^\circ$) nên ∆OED vuông tại E.

Khi đó $OE = {1 \over 2}OD = 7cm.$ Do đó $EB = OE + OB = 7 + 5 = 12$ (cm).

Kẻ đường cao AH của ∆BAE, ta có ∆AHO là nửa tam giác đều có

$\eqalign{  & OA = 5cm \Rightarrow OH = {5 \over 2}\left( {cm} \right)  \cr  &  \Rightarrow AH = \sqrt {O{A^2} – O{H^2}}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {{5^2} – {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}}  = {{5\sqrt 3 } \over 2}({cm}) \cr}$

Vậy : ${S_{ABE}} = {1 \over 2}BE.AH$$\,= {1 \over 2}.12.{{5\sqrt 3 } \over 2}$$\,= 15\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)$

Sachgiaihay.com