Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương 2 – Hình học 9

Đề bài

Cho đường tròn (O; R), lấy điểm A ở ngoài đường tròn (O) sao cho $OA = 2R$. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm.

a. Chứng minh rằng AO là đường trung trực của đoạn BC. Tính AB theo R.

b. Gọi I là trung điểm của đoạn OB, K là giao điểm của đoạn OA với đường tròn (O). Tính diện tích ∆OIK theo R.

c. Đường thẳng AI cắt cung lớn BC tại M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: $MP = p – AQ$ (với p là nửa chu vi ∆APQ)

d. Chứng minh rằng diện tích ∆APQ bằng nửa chu vi của ∆APQ nhân với R.

LG ý a,b

Phương pháp giải:

Sử dụng:

-Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

-Định lý Py-ta-go

-Tính chất đường trung bình của tam giác

Lời giải chi tiết:

a. Ta có: $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$OB = OC (= R).$

Do đó AO là đường trung trực của đoạn BC.

Ta có: $AB ⊥ OB$ (tính chất tiếp tuyến)

$⇒ ∆ABO$ vuông tại B, theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$AB = \sqrt {A{O^2} – B{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {2R} \right)}^2} – {R^2}}$$\,= R\sqrt 3$

b. Ta có: IK là đường trung bình của ∆AOB nên:

$IK = {1 \over 2}AB = {{R\sqrt 3 } \over 2}$ và IK // AB, mà $AB ⊥ OB ⇒ IK ⊥ OB.$

Ta có: ${S_{OIK}} = {1 \over 2}IK.IO = {1 \over 2}.{{R\sqrt 3 } \over 2}.{R \over 2} = {{{R^2}\sqrt 3 } \over 8}$ (đvdt)

LG ý c,d

Phương pháp giải:

-Công thức tính chu vi và diện tích tam giác

Lời giải chi tiết:

c. Ta có:

$\eqalign{  p – AQ &= {{AP + PQ + AQ} \over 2} – AQ\cr& = {{AP + PQ + AQ – 2AQ} \over 2}  \cr  &  = {{AP + PQ – AQ} \over 2} \cr&= {{AB + BP + PM + MQ – CQ – AC} \over 2}  \cr  &  = {{BP + PM} \over 2} = {{2PM} \over 2} \cr&= PM\,\left( {đpcm} \right) \cr}$

d. Ta có:

$\eqalign{  & {S_{APQ}} = {S_{AOQ}} + {S_{QOP}} + {S_{POA}}  \cr  &  = {1 \over 2}R.AQ + {1 \over 2}R.QP + {1 \over 2}R.AP \cr&= {1 \over 2}R\left( {AQ + QP + AP} \right) \cr}$

 Sachgiaihay.com