Bài 1 trang 57 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình ${x^2} – 3x – 7 = 0$ . Không giải phương trình hãy tính giá trị các biểu thức sau:

a) $S = {x_1} + {x_2}$         

b) $P = {x_1}{x_2}$

c) $A = {x_1}^2 + {x_2}^2$       

d) $B = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|$

e) $C = \dfrac{1}{{{x_1} – 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} – 1}}$     

f) $D = (3{x_1} + {x_2})(3{x_2} + {x_1})$

g) $E = {x_1}^3 + {x_2}^3$ 

h) $F = {x_1}^4 + {x_2}^4$

Lời giải chi tiết

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc hai ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  – \dfrac{b}{a} = 3\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} =  – 7\end{array} \right.$

a) $S = {x_1} + {x_2} = 3$

b) $P = {x_1}.{x_2} =  – 7$

c) $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}$$\, = {3^2} – 2.\left( { – 7} \right) = 9 + 14 = 23$

d) $B = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|$

$\Rightarrow {B^2} = {\left| {{x_1} – {x_2}} \right|^2} = x_1^2 + x_2^2 – 2{x_1}x{  _2}$$\,= A – 2P = 23 – 2.\left( { – 7} \right) = 37$

e) $C = \dfrac{1}{{{x_1} – 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} – 1}}$

$= \dfrac{{{x_2} – 1 + {x_1} – 1}}{{\left( {{x_1} – 1} \right)\left( {{x_2} – 1} \right)}}$

$= \dfrac{{{x_1} + {x_2} – 2}}{{{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}$

$= \dfrac{{3 – 2}}{{ – 7 – 3 + 1}} =  – \dfrac{1}{9}$

f)$D = \left( {3{x_1} + {x_2}} \right)\left( {3{x_2} + {x_1}} \right)$$\;= 10{x_1}{x_2} + 3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)$$\,= 10.\left( { – 7} \right) + 3.23 =  – 1$

g)$E = x_1^3 + x_2^3$$\;= \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 – {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)$$\;= 3.\left( {23 + 7} \right) = 90$

h)$F = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2} \right)^2} + {\left( {x_2^2} \right)^2}$$\,= {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} – 2x_1^2x_2^2$$\, = {23^2} – 2.{\left( { – 7} \right)^2}$$\,= 431$

Sachgiaihay.com