Bài 16 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB tới đường tròn (C nằm giữa M và B). Phân giác của góc $\widehat {BAC}$ cắt BC tại D và cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh:

a) MA = MD

b) $M{A^2} = MC.MB$

c) $N{B^2} = NA.ND$

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\widehat {ADC}$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn $\Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,BN}}{2}$.

Mà $\widehat {BAN} = \widehat {CAN}$(AN là tia phân giác của $\widehat {BAC}$) $\Rightarrow sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN$ (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau).

$\Rightarrow \widehat {ADC} = \dfrac{{sd\,cung\,AC + sd\,cung\,CN}}{2}$$\; = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN$.

Lại có $\widehat {MAN} = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AN$ (số đo góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn),

$\Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {MAN} \Rightarrow \Delta MAD$ cân tại M $\Rightarrow MA = MD$.

b) Xét tam giác MAC và tam giác MBA có:

$\widehat M$ chung;

$\widehat {MAC} = \widehat {MBA}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

$\Rightarrow \Delta MAC$ đồng dạng $\Delta MBA$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}$ $\Rightarrow M{A^2} = MB.MC$.

cc) Xét tam giác NBA và tam giác NDB có:

+) $\widehat N$ chung;

+) $sd\widehat {BN} = sd\,cung\,CN$ $\Rightarrow \widehat {NAB} = \widehat {NBD}$ (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau);

$\Rightarrow \Delta NBA \sim \Delta NDB\,\,\left( {g.g} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{NB}}{{ND}} = \dfrac{{NA}}{{NB}}$ $\Rightarrow N{B^2} = NA.ND$.

 Sachgiaihay.com