10. Các dạng toán về phép tính lũy thừa

Đề bài

Câu 1 :

Chọn câu đúng.

A.

${5^2}{.5^3}{.5^4} = {5^{10}}$
B.

${5^2}{.5^3}:{5^4} = 5$
C.

${5^3}:5 = 5$
D.

${5^1} = 1$

Câu 2 :

Chọn câu sai.

A.

${5^3} < {3^5}$
B.

${3^4} > {2^5}$
C.

${4^3} = {2^6}$
D.

${4^3} > {8^2}$

Câu 3 :

Tìm số tự nhiên $n$ biết ${3^n} = 81.$

A.

$n = 2$
B.

$n = 4$
C.

$n = 5$
D.

$n = 8$

Câu 4 :

Số tự nhiên $x$ nào dưới đây thỏa mãn ${4^x} = {4^3}{.4^5}?$

A.

$x = 32$
B.

$x = 16$
C.

$x = 4$
D.

$x = 8$

Câu 5 :

Số tự nhiên $m$ nào dưới đây thỏa mãn ${20^{2018}} < {20^m} < {20^{2020}}?$

A.

$m = 2020$
B.

$m = 2018$
C.

$m = 2019$
D.

$m = 20$

Câu 6 :

Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn ${5^n} < 90?$

A.

$2$
B.

$3$
C.

$4$
D.

$1$

Câu 7 :

Số tự nhiên $x$ thỏa mãn ${\left( {2x + 1} \right)^3} = 125$ là

A.

$x = 2$
B.

$x = 3$
C.

$x = 5$
D.

$x = 4$

Câu 8 :

Gọi $x$ là số tự nhiên thỏa mãn ${2^x} – 15 = 17$ . Chọn câu đúng.

A.

$x < 6$
B.

$x > 7$
C.

$x < 5$
D.

$x < 4$

Câu 9 :

Có bao nhiêu số tự nhiên $x$ thỏa mãn ${\left( {7x – 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200?$

A.

$1$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$3$

Câu 10 :

Tổng các số tự nhiên thỏa mãn ${\left( {x – 4} \right)^5} = {\left( {x – 4} \right)^3}$ là

A.

$8$
B.

$4$
C.

$5$
D.

$9$

Câu 11 :

So sánh ${16^{19}}$ và ${8^{25}}$ .

A.

${16^{19}} < {8^{25}}.$
B.

${16^{19}} > {8^{25}}.$
C.

${16^{19}} = {8^{25}}.$
D.

Không đủ điều kiện so sánh.

Câu 12 :

Tính giá trị của biểu thức $A = \dfrac{{{{11.3}^{22}}{{.3}^7} – {9^{15}}}}{{{{\left( {{{2.3}^{13}}} \right)}^2}}}$

A.

$A = 18$
B.

$A = 9$
C.

$A = 54.$
D.

$A = 6$

Câu 13 :

Truyền thuyết Ấn Độ kể rằng, người phát minh ra bàn cờ vua chọn phần thưởng là số thóc rải trên 64 ô của bàn cờ vua như sau: ô thứ nhất để 1 hạt thóc, ô thứ hai để 2 hạt thóc, ô thứ ba để 4 hạt thóc, ô thứ tư để 8 hạt thóc,… cứ như thế, số hạt ở ô sau gấp đôi số hạt ở ô trước. Em hãy tìm số hạt thóc ở ô thứ 8?

A.

${2^9}$
B.

${2^7}$
C.

${2^6}$
D.

${2^8}$

Câu 14 :

Cho $A = 3 + {3^2} + {3^3} + … + {3^{100}}$ . Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng $2A + 3 = {3^n}.$

A.

$n = 99$
B.

$n = 100$
C.

$n = 101$
D.

$n = 102$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn câu đúng.

A.

${5^2}{.5^3}{.5^4} = {5^{10}}$
B.

${5^2}{.5^3}:{5^4} = 5$
C.

${5^3}:5 = 5$
D.

${5^1} = 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$ ; ${a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}$ $\left( {a \ne 0;\,m \ge n \ge 0} \right)$

Lời giải chi tiết :

+) Ta có ${5^2}{.5^3}{.5^4} = {5^{2 + 3 + 4}} = {5^9}$ nên A sai.

+) ${5^2}{.5^3}:{5^4} = {5^{2 + 3 – 4}} = {5^1} = 5$ nên B đúng

+) ${5^3}:5 = {5^{3 – 1}} = {5^2};\,{5^1} = 5$ nên C;D sai.

Câu 2 :

Chọn câu sai.

A.

${5^3} < {3^5}$
B.

${3^4} > {2^5}$
C.

${4^3} = {2^6}$
D.

${4^3} > {8^2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

So sánh các lũy thừa bằng cách tính giá trị rồi so sánh.

Lời giải chi tiết :

Cách giải:

+) Ta có ${5^3} = 5.5.5 = 125$ ; ${3^5} = 3.3.3.3.3 = 243$ nên ${5^3} < {3^5}$ (A đúng)

+) ${3^4} = 3.3.3.3 = 81$ và ${2^5} = 2.2.2.2.2 = 32$ nên ${3^4} > {2^5}$ (B đúng)

+) ${4^3} = 4.4.4 = 64$ và ${2^6} = 2.2.2.2.2.2 = 64$ nên ${4^3} = {2^6}$ (C đúng)

+) ${4^3} = 64;{8^2} = 64$ nên ${4^3} = {8^2}$ (D sai)

Câu 3 :

Tìm số tự nhiên $n$ biết ${3^n} = 81.$

A.

$n = 2$
B.

$n = 4$
C.

$n = 5$
D.

$n = 8$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đưa hai vế về hai lũy thừa cùng số mũ rồi sử dụng ${a^n} = {a^m}\left( {a \ne 0;a \ne 1} \right)$ thì $n = m.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${3^n} = 81$ mà $81 = {3^4}$ nên ${3^n} = {3^4}$ suy ra $n = 4.$

Câu 4 :

Số tự nhiên $x$ nào dưới đây thỏa mãn ${4^x} = {4^3}{.4^5}?$

A.

$x = 32$
B.

$x = 16$
C.

$x = 4$
D.

$x = 8$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$ để tính vế trái.

+ Sử dụng ${a^n} = {a^m}\left( {a \ne 0;a \ne 1} \right)$ thì $n = m.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${4^x} = {4^3}{.4^5}$

${4^x} = {4^{3 + 5}}$

${4^x} = {4^8}$

$x = 8$

Vậy $x = 8.$

Câu 5 :

Số tự nhiên $m$ nào dưới đây thỏa mãn ${20^{2018}} < {20^m} < {20^{2020}}?$

A.

$m = 2020$
B.

$m = 2018$
C.

$m = 2019$
D.

$m = 20$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ So sánh các lũy thừa cùng cơ số : Nếu ${a^m} > {a^n}$ thì $m > n.$

+ Từ đó chọn ra các giá trị thích hợp của $m.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${20^{2018}} < {20^m} < {20^{2020}}$ suy ra $2018 < m < 2020$ nên $m = 2019.$

Câu 6 :

Có bao nhiêu số tự nhiên $n$ thỏa mãn ${5^n} < 90?$

A.

$2$
B.

$3$
C.

$4$
D.

$1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ So sánh các lũy thừa cùng cơ số : Nếu ${a^m} > {a^n}$ thì $m > n.$

+ Từ đó chọn ra các giá trị thích hợp của $n.$

Lời giải chi tiết :

Vì ${5^2} < 90 < {5^3}$ nên từ ${5^n} < 90$ suy ra $n \le 2.$ Tức là $n = 0;1;2.$

Vậy có ba giá trị thỏa mãn.

Câu 7 :

Số tự nhiên $x$ thỏa mãn ${\left( {2x + 1} \right)^3} = 125$ là

A.

$x = 2$
B.

$x = 3$
C.

$x = 5$
D.

$x = 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ rồi cho hai cơ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {2x + 1} \right)^3} = 125$

${\left( {2x + 1} \right)^3} = {5^3}$

$2x + 1 = 5$

$2x = 5 – 1$

$2x = 4$

$x = 4:2$

$x = 2.$

Câu 8 :

Gọi $x$ là số tự nhiên thỏa mãn ${2^x} – 15 = 17$ . Chọn câu đúng.

A.

$x < 6$
B.

$x > 7$
C.

$x < 5$
D.

$x < 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tìm số bị trừ ${2^x}$ bằng cách lấy hiệu cộng với số trừ.

+ Đưa về hai lũy thừa cùng cơ số và cho hai số mũ bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${2^x} – 15 = 17$

${2^x} = 17 + 15$

${2^x} = 32$

${2^x} = {2^5}$

$x = 5.$

Vậy $x = 5 < 6.$

Câu 9 :

Có bao nhiêu số tự nhiên $x$ thỏa mãn ${\left( {7x – 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200?$

A.

$1$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tính vế phải

+ Đưa về hai lũy thừa cùng số mũ rồi cho hai cơ số bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Ta có

${\left( {7x – 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200$

${\left( {7x – 11} \right)^3} = 32.25 + 200$

${\left( {7x – 11} \right)^3} = 1000$

${\left( {7x – 11} \right)^3} = {10^3}$

$7x – 11 = 10$

$7x = 11 + 10$

$7x = 21$

$x = 21:7$

$x = 3.$

Vậy có $1$ số tự nhiên $x$ thỏa mãn đề bài là $x = 3.$

Câu 10 :

Tổng các số tự nhiên thỏa mãn ${\left( {x – 4} \right)^5} = {\left( {x – 4} \right)^3}$ là

A.

$8$
B.

$4$
C.

$5$
D.

$9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Vì ${0^m} = {0^n};\,{1^m} = {1^n}$ với mọi $m,n \ne 0$ nên

Xét các trường hợp:

+) $x – 4 = 0$

+) $x – 4 = 1$

Lời giải chi tiết :

Trường hợp 1: $x – 4 = 0$ suy ra $x = 4$ suy ra $x = 4.$

Trường hợp 2: $x – 4 = 1$ suy ra $x = 1 + 4$ hay $x = 5.$

Vậy tổng các số tự nhiên thỏa mãn là $4 + 5 = 9.$

Câu 11 :

So sánh ${16^{19}}$ và ${8^{25}}$ .

A.

${16^{19}} < {8^{25}}.$
B.

${16^{19}} > {8^{25}}.$
C.

${16^{19}} = {8^{25}}.$
D.

Không đủ điều kiện so sánh.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Đưa ${16^{19}}$ và ${8^{25}}$ về lũy thừa cơ số $2$ (sử dụng công thức ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}$ )

+ So sánh hai số mũ với nhau từ đó so sánh hai lũy thừa đã cho.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${16^{19}}$ $= {\left( {{2^4}} \right)^{19}} = {2^{4.19}} = {2^{76}}$

Và ${8^{25}} = {\left( {{2^3}} \right)^{25}} = {2^{75}}$

Mà $76 > 75$ nên ${2^{76}} > {2^{75}}$ hay ${16^{19}} > {8^{25}}.$

Câu 12 :

Tính giá trị của biểu thức $A = \dfrac{{{{11.3}^{22}}{{.3}^7} – {9^{15}}}}{{{{\left( {{{2.3}^{13}}} \right)}^2}}}$

A.

$A = 18$
B.

$A = 9$
C.

$A = 54.$
D.

$A = 6$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}};{a^m}:{a^n} = {a^{m – n}};\,$ ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}};\,{\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\left( {a;b \ne 0,m \ge n} \right).$

Và tính chất $ab – ac = a\left( {b – c} \right).$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{{{11.3}^{22}}{{.3}^7} – {9^{15}}}}{{{{\left( {{{2.3}^{13}}} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{{{11.3}^{22 + 7}} – {{\left( {{3^2}} \right)}^{15}}}}{{{2^2}.{{\left( {{3^{13}}} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{{{11.3}^{29}} – {3^{2.15}}}}{{{2^2}{{.3}^{13.2}}}}$ $= \dfrac{{{{11.3}^{29}} – {3^{30}}}}{{{2^2}{{.3}^{26}}}}$ $= \dfrac{{{{11.3}^{29}} – {3^{29}}.3}}{{{2^2}{{.3}^{26}}}}$

$= \dfrac{{{3^{29}}\left( {11 – 3} \right)}}{{{2^2}{{.3}^{26}}}} = \dfrac{{{3^{29}}.8}}{{{{4.3}^{26}}}} = {2.3^{29 – 26}} = {2.3^3} = 54.$

Vậy $A = 54.$

Câu 13 :

A.

${2^9}$
B.

${2^7}$
C.

${2^6}$
D.

${2^8}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biểu diễn số hạt thóc ở mỗi ô theo lũy thừa của 2.

Lời giải chi tiết :

Vậy số hạt thóc ở ô thứ 8 là ${2^7}$ .

Câu 14 :

Cho $A = 3 + {3^2} + {3^3} + … + {3^{100}}$ . Tìm số tự nhiên $n$ biết rằng $2A + 3 = {3^n}.$

A.

$n = 99$
B.

$n = 100$
C.

$n = 101$
D.

$n = 102$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Tính $3A$ sau đó tính $2A = 3A – A$

+ Sử dụng điều kiện ở đề bài để đưa về dạng hai lũy thừa cùng cơ số. Cho hai số mũ bằng nhau ta tìm được $n.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = 3 + {3^2} + {3^3} + … + {3^{100}}\,\,\left( 1 \right)$ nên $3A = {3^2} + {3^3} + {3^4} + … + {3^{100}} + {3^{101}}\,\,\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 2 \right)$ trừ $\left( 1 \right)$ ta được $2A = {3^{101}} – 3$ do đó $2A + 3 = {3^{101}}$ mà theo đề bài $2A + 3 = {3^n}$

Suy ra ${3^n} = {3^{101}}$ nên $n = 101.$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE

10. Các dạng toán về phép tính lũy thừa

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE

Chương 1. Số tự nhiên

Chương 2. Số nguyên

Chương 3. Hình học trực quan

Chương 4. Một số yếu tố thống kê và xác suất

Chương 5. Phân số và số thập phân

Chương 6. Hình học phẳng