Giải bài 6.24 trang 18 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) $– {x^2} + (m + 1)x – 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$

b) ${x^2} – (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai $– {x^2} + (m + 1)x – 2m + 1 \le 0$ có ∆ = ${(m + 1)^2} + 4( – 2m + 1) = {m^2} – 6m + 5$

Vì a = -1 < 0 nên $– {x^2} + (m + 1)x – 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi ∆ ≤ 0

Ta có: ∆ ≤ 0 $\Leftrightarrow {m^2} – 6m + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 5$

Vậy với $m \in \left[ {1;5} \right]$ thì $– {x^2} + (m + 1)x – 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$

b) Tam thức bậc hai ${x^2} – (2m + 1)x + m + 2 > 0$ có ∆ = ${(2m + 1)^2} – 4(m + 2) = 4{m^2} – 7$

Vì a = 1 > 0 nên ${x^2} – (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi ∆ < 0

Ta có: ∆ < 0 $\Leftrightarrow 4{m^2} – 7 < 0 \Leftrightarrow  – \frac{{\sqrt 7 }}{2} < m < \frac{{\sqrt 7 }}{2}$

Vậy với $m \in \left( { – \frac{{\sqrt 7 }}{2};\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)$ thì ${x^2} – (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$