Giải bài 5 trang 17 SGK Toán 8 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

a) Chứng minh rằng biểu thức $P = 5{\rm{x}}\left( {2 – x} \right) – \left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)$ luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức $Q = 3{{\rm{x}}^2} + x\left( {x – 4y} \right) – 2{\rm{x}}\left( {6 – 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1$ luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l}P = 5{\rm{x}}\left( {2 – x} \right) – \left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\P = 5{\rm{x}}.2 – 5{\rm{x}}.x – x.x – x.9 – 1.x – 1.9\\P = 10{\rm{x}} – 5{{\rm{x}}^2} – {x^2} – 9{\rm{x}} – x – 9\\P =  – \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right)\end{array}$

Vì $6{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $6{{\rm{x}}^2} + 9 \ge 9,\forall x \in \mathbb{R}$ suy ra $– \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right) \le  – 9 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}Q = 3{{\rm{x}}^2} + x\left( {x – 4y} \right) – 2{\rm{x}}\left( {6 – 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + x.x – x.4y – 2{\rm{x}}.6 – 2{\rm{x}}.\left( { – 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + {x^2} – 4{\rm{xy}} – 12{\rm{x}} + 4{\rm{xy + 12x + 1}}\\{\rm{Q = 4}}{{\rm{x}}^2} + 1\end{array}$

Vì ${\rm{4}}{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên ${\rm{4}}{{\rm{x}}^2} + 1 \ge 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Vậy Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x, y.