Giải bài 4.30 trang 65 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 1,\,\,BC = \sqrt 2 .$ Gọi $M$ là trung điểm của $AD.$

a) Chứng minh rằng các đường thẳng $AC$ và $BM$ vuông góc với nhau.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $AC,\,\,BM.$ Gọi $N$ là trung điểm của $AH$ và $P$ là trung điểm của $CD.$ Chứng minh rằng tam giác $NBP$ là một tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: $\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta có: $\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM}  – \overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BM}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  – \overrightarrow {AB} } \right)$

 $\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  – {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ =  – {\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} =  – 1 + \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) – 1 + 1 = 0\end{array}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BM}$ $\Rightarrow$ $AC \bot BM$

b)     Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {1 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt 3$       (1)

Xét $\Delta ABN$ vuông tại $A$ có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \,\,\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = 1 + 2 = 3$

$\Rightarrow \,\,AH = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$      (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $AH = \frac{1}{3}AC$

Ta có: $\overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  – \frac{1}{2}\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AB}  – \frac{1}{6}\overrightarrow {AC}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  – \frac{1}{6}\overrightarrow {AD}$

Ta có: $\overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {CP}  – \overrightarrow {CN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  – \frac{5}{6}\overrightarrow {CA}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC}  – \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {NB} .\overrightarrow {NP}  = \left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AB}  – \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{5}{6}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)$

                   $\begin{array}{l} = \frac{{25}}{{36}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} – \frac{1}{{18}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \\ = \frac{5}{{18}}{\overrightarrow {AB} ^2} – \frac{5}{{36}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{{18}}.1 – \frac{5}{{36}}.\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{5}{{18}} – \frac{5}{{18}} = 0\end{array}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {NB}  \bot \overrightarrow {NP}$ $\Rightarrow$ $NB \bot NP$

$\Rightarrow$ $\Delta NBP$ vuông tại $N$.