Giải bài 13 trang 96 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có

\(r = \frac{{\sqrt {(b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)} }}{{2\sqrt {a + b + c} }}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p}\)

Mà \(S = \sqrt {p(p – a)(p – b)(p – c)} \) (công thức Heron), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \sqrt {\frac{{a + b + c}}{2}\left( {\frac{{a + b + c}}{2} – a} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{2} – b} \right)\left( {\frac{{a + b + c}}{2} – c} \right)} \\ = \sqrt {\frac{1}{{16}}.\left( {a + b + c} \right)\left( { – a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)} \\ = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( { – a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow r = \frac{{\frac{1}{4}\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( { – a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)} }}{{\frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)}}\\ = \frac{1}{2}\frac{{\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( { – a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)} }}{{a + b + c}}\\ = \frac{{\sqrt {\left( { – a + b + c} \right)\left( {a – b + c} \right)\left( {a + b – c} \right)} }}{{2\sqrt {a + b + c} }}\;\;(dpcm)\end{array}\)