Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

 Biết tung độ tiếp điểm bằng 2

Giải chi tiết:

\(f’\left( x \right) = 4{x^3} + 4x\) .Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 – 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 – 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x_0^2 = 1}  \cr   {x_0^2 =  – 3\,\left( \text{loại} \right)}  \cr  }  \Leftrightarrow {x_0} =  \pm 1} \right.\)

* Với x₀ = 1 ta có \(f’\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y – 2 = 8\left( {x – 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x – 6\)

* Với x₀ = -1 ta có \(f’\left( { – 1} \right) = 4.{\left( { – 1} \right)^3} + 4.\left( { – 1} \right) =  – 8\)

Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :

\(y – 2 =  – 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y =  – 8x – 6\)

LG b

Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

Giải chi tiết:

Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x₀ thỏa :

\(f’\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} =  – 1} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : \(y – \left( { – 1} \right) = 0\left( {x – 0} \right) \Leftrightarrow y =  – 1\)

LG c

Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y =  – {1 \over 8}x + 3\)

Giải chi tiết:

Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y =  – {1 \over 8}x + 3,\) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :

\(\eqalign{  & y’ = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x – 8 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 4\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)

Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : \(y = 8x – 6\)

LG d

 Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)

Giải chi tiết:

Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị (C) là :

\(\eqalign{  & y = f’\left( {{x_0}} \right).\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 – 1 \cr} \)

Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :

\(\eqalign{  &  – 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 – {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 – 1  \cr  &  \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 – 5 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} =  \pm 1 \cr} \)

Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :

\(y = 8x – 6;\;y =  – 8x -6\)

Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6

Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :

\(\left\{ {\matrix{   {f\left( x \right) = kx – 6}  \cr   {f’\left( x \right) = k}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {{x^4} + 2{x^2} – 1 = kx – 6}  \cr   {4{x^3} + 4x = k}  \cr  } } \right.\)

Khử k từ hệ trên ta được : \(3{x^4} + 2{x^2} – 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Suy ra \(k = ± 8\).

Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : \(y = 8x – 6;\;y =  – 8x -6\)

Sachgiaihay.com