Bài tập 7 trang 128 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

 Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM $\left( {H \in CM} \right)$. Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng $\widehat {EBH} = \widehat {ACM}$

c) Chứng minh rằng $EB \bot BC$

d) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại N. Tia phân giác $\widehat {NAB}$ cắt đường thẳng BH tại D, tia ND cắt CM tại F. Tính số đo $\widehat {NFC}$

Lời giải chi tiết

a) ∆MBE có: BH là đường cao ($BH \bot EM$ tại H)

BH là đường trung tuyến (HE = HM, $H \in EM$)

Nên ∆MBE cân tại B.

b) ∆MBE cân tại B có BH là đường cao

=> BH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat {EBH} = \widehat {HBM}$

Ta có: $\widehat {HBM} + \widehat {BMH} = 90^\circ$ (∆HMB vuông tại H)

$\widehat {ACM} + \widehat {AMC} = 90^\circ$ (∆AMC vuông tại A)

$\widehat {BMH} = \widehat {AMC}$ (đối đỉnh)

Do đó $\widehat {HBM} = \widehat {ACM}.$

Mà $\widehat {HBM} = \widehat {EBH}.$

Nên $\widehat {ACM} = \widehat {EBH}.$

c) Ta có: $\widehat {EBH} = {1 \over 2}\widehat {EBM}$ (BH là tia phân giác của $\widehat {EBM}$)

$\widehat {ACM} = {1 \over 2}\widehat {ACB}$ (CM là tia phân giác của $\widehat {ACB}$)

$\widehat {EBH} = \widehat {ACM}$ (câu b)

Do đó $\widehat {EBM} = \widehat {ACB}.$

Mà $\widehat {ACB} + \widehat {MBC} = 90^\circ$ (∆ABC vuông tại A). Nên $\widehat {EBM} + \widehat {MBC} = 90^\circ$.

$\Rightarrow \widehat {EBC} = 90^\circ$. Vậy$EB \bot BC.$

d) ∆ABN có: AD là đường phân giác (gt)

BD là đường phân giác và AD cắt BD tại D (gt)

=> D là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABN

=> ND là đường phân giác của ∆ABN $\Rightarrow \widehat {ANF} = {1 \over 2}\widehat {BNC}$

Mà $\widehat {NCF} = {1 \over 2}\widehat {NCB}$ (CF là tia phân giác của $\widehat {NCB}$)

$\widehat {BNC} + \widehat {NCB} = 90^\circ$ (∆NBC vuông tại B)

Nên $\widehat {ANF} + \widehat {NCF} = {1 \over 2}\widehat {BNC} + {1 \over 2}\widehat {NCB} = {1 \over 2}(\widehat {BNC} + \widehat {NCB}) = {1 \over 2}.90^\circ  = 45^\circ .$

Lại có $\widehat {NFC} + \widehat {ANF} + \widehat {NCF} = 180^\circ$ (tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat {NFC} + 45^\circ  = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {NFC} = 135^\circ$

Sachgiaihay.com