Bài 4 trang 60 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Ba số \(\frac{2}{{b – a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b – c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Ba số \(\frac{2}{{b – a}},\frac{1}{b},\frac{2}{{b – c}}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{b – a}} + \frac{2}{{b – c}} = 2.\frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{1}{{b – a}} + \frac{1}{{b – c}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{\left( {b – c} \right) + \left( {b – a} \right)}}{{\left( {b – a} \right)\left( {b – c} \right)}} = \frac{1}{b}\\ \Leftrightarrow \frac{{b – c + b – {\rm{a}}}}{{{b^2} – ab – bc + ac}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{2b – c – {\rm{a}}}}{{{b^2} – ab – bc + ac}} = \frac{1}{b} \Leftrightarrow b\left( {2b – c – {\rm{a}}} \right) = {b^2} – ab – bc + ac\\ \Leftrightarrow 2{b^2} – bc – {\rm{ab}} = {b^2} – ab – bc + ac \Leftrightarrow {b^2} = {\rm{a}}c\end{array}\).

Vậy ba số \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.