Bài 3.53 trang 133 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai mặt phẳng: (P₁): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P₂): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P₁) và (P₂) là bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(M(x,y,z) \in (P)\)\( \Leftrightarrow d(M,({P_1})) = d(M,({P_2}))\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{|2x + y + 2z + 1|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }}\)\( = \dfrac{{|4x – 2y – 4z + 7|}}{{\sqrt {16 + 4 + 16} }}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2x + y + 2z + 1} \right|}}{3} = \dfrac{{\left| {4x – 2y – 4z + 7} \right|}}{6}\)

\( \Leftrightarrow 2|2x + y + 2z + 1|\)\( = |4x – 2y – 4z + 7|\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 2y + 4z + 2 = 4x – 2y – 4z + 7}\\{4x + 2y + 4z + 2 =  – (4x – 2y – 4z + 7)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y + 8z – 5 = 0}\\{8x + 9 = 0}\end{array}} \right.\)

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng phải tìm là:  4y + 8z – 5 = 0  hoặc 8x + 9 = 0.

Sachgiaihay.com