4. Bài 4: Đồ thị của hàm số bậc nhất y=ax+b(a khác 0)

Để đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm có tung độ bằng 4 nên thay \(y = 4\) vào \(y = x + 1\) ta có: \(4 = x + 1\), \(x = 3\)

Do đó, tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\left( {3;4} \right)\)

Thay \(x = 3,y = 4\) vào \(y = \left( {m – 1} \right)x – 1\) ta có:

\(4 = 3\left( {m – 1} \right) – 1\)

\(3m – 3 – 1 = 4\)

\(m = \frac{8}{3}\)

A là giao điểm của d với trục hoành nên \(0 =  – 2x – 4,x =  – 2\) nên \(A\left( { – 2;0} \right)\)

B là giao điểm của d với trục tung nên \(y =  – 2.0 – 4 =  – 4\) nên \(B\left( {0; – 4} \right)\)

Do đó, \(OA = 2,OB = 4\)

Vì tam giác AOB vuông tại O nên diện tích tam giác OAB là: \(S = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4\) (đvdt)

+ Nhận thấy M thuộc \({d_2}\)

Thay tọa độ M vào \(y = mx – 1\) ta có:

\(3 = m.2 – 1\)

\(2m = 4\)

\(m = 2\)

Điểm đối xứng với điểm (x; y) qua trục hoành là điểm (x; -y)

Xét hàm số \(y = 2x + 10,\) thay y bởi \( – y\) ta được: \( – y = 2x + 10\) hay \(y =  – 2x – 10\)

Gọi điểm \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định của đường thẳng (1).

Ta có: \({y_0} = m{x_0} + m + 1\)

\({y_0} – m{x_0} – m – 1 = 0\)

\( – \left( {{x_0} + 1} \right)m + {y_0} – 1 = 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + 1 = 0\\{y_0} – 1 = 0\end{array} \right.\)    \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  – 1\\{y_0} = 1\end{array} \right.\)

Vậy đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định (-1; 1).

Đường thẳng BC có dạng: \(y = ax + b\)

Vì điểm B(-5; 20) thuộc đường thẳng BC nên \(20 =  – 5a + b,\) \(b = 20 + 5a\;\;\left( 1 \right)\)

Vì điểm C(7; -16)  thuộc đường thẳng BC nên \( – 16 = 7a + b\;\;\left( 2 \right)\)

Thay (1) vào (2) ta có: \( – 16 = 7a + 20 + 5a\)

\(12a =  – 36\)

\(a =  – 3\) nên \(b = 20 + 5.\left( { – 3} \right) = 5\)

Do đó đường thẳng BC có dạng: \(y =  – 3x + 5\)

Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì điểm A(x; 14) thuộc đường thẳng BC.

Do đó, \(14 =  – 3x + 5\)

\( – 3x = 9\)

\(x =  – 3\)

Hàm số \(y = mx + 3\) là hàm số bậc nhất khi \(m \ne 0\)

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng \(y =  – x\) nên \(m =  – 1\) (thỏa mãn)

Do đó, d: \(y =  – x + 3\)

Vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y =  – x + 3\) và \(y = x + 1\):

Nhìn vào đồ thị ta thấy, A(1; 2), B(3; 0), do đó, \(OB = 3\)

Gọi K là hình chiếu của A trên trục Ox, do đó AK là đường cao trong tam giác OAB và \(AK = 2\)

Diện tích tam giác OAB là: \(S = \frac{1}{2}AK.OB = \frac{1}{2}.3.2 = 3\) (đvdt)