Câu 4 trang 35 SGK Vật Lý 12 Nâng cao

Đề bài

a) Thử lại rằng :$x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t$ (6.14) trong đó A₁ và A₂ là hai hằng số bất kì cũng là nghiệm của phương trình (6.3).

b) Chứng tỏ rằng, nếu chọn A₁ và A₂ trong  biểu thức ở vế trái của (6.14) như sau: ${A_1} = A\cos \varphi ;{A_2} = – A\sin \varphi$ thì biểu thức ấy trùng với biểu thức ở vế phải của (6.4).

Lời giải chi tiết

a) Ta có :

$x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t \Rightarrow x’ = – {A_1}\omega \sin \omega t + {A_2}\omega \cos \omega t.$

$x” = – {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t – {A_2}{\omega ^2}\sin \omega t.$

Ta được :

$\eqalign{ & x” + {\omega ^2}x = – {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t – {A_2}{\omega ^2}sin\omega t + {\omega ^2}({A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t) \cr  & \Rightarrow x” + {\omega ^2}x = – {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t – {A_2}{\omega ^2}sin\omega t + {A_1}{\omega ^2}\cos \omega t + {A_2}{\omega ^2}sin\omega t = 0. \cr}$

Vậy :$x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t$ là nghiệm của phương trình $x” + {\omega ^2}x = 0.$

b) Nếu chọn ${A_1} = A\cos \varphi$ và ${A_2} = – A\sin \varphi$

thì  $\eqalign{& x = {A_1}\cos \omega t + {A_2}\sin \omega t = A\cos \varphi cos\omega t – A\sin \varphi \sin \omega t \cr & = A(\cos \varphi cos\omega t – \sin \varphi \sin \omega t) \cr & \Rightarrow x = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right). \cr}$

Sachgiaihay.com