Giải bài 4 trang 31 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác $y = \frac{{\sin x – 2\cos 3x}}{{\sin x + \sin \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right)}}$

Đề bài

Tìm tập xác định của hàm số lượng giác $y = \frac{{\sin x – 2\cos 3x}}{{\sin x + \sin \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right)}}$

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác để giải:

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi $\left| m \right| \le 1$ . Khi đó, nghiệm của phương trình là $x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ ; $x = \pi – \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ với $\alpha$ là góc thuộc $\left[ { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ sao cho $\sin \alpha = m$ .

Đặc biệt: $\sin u = \sin v$ $\Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ hoặc $u = \pi – v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Lời giải chi tiết

Hàm số $y = \frac{{\sin x – 2\cos 3x}}{{\sin x + \sin \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right)}}$ xác định khi $\sin x + \sin \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0$

$\Leftrightarrow \sin x \ne – \sin \left( {2x – \frac{\pi }{3}} \right)$ $\Leftrightarrow \sin x \ne \sin \left( { – 2x + \frac{\pi }{3}} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne – 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne \pi – \left( { – 2x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x \ne \frac{{ – 2\pi }}{3} – k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{9} + \frac{{k2\pi }}{3},\frac{{ – 2\pi }}{3} – k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$