Giải bài 4.32 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}$

B. $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {45^o}$ và $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = {a^2}$

C. $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = {a^2}\sqrt 2$

D. $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  =  – {a^2}$

Lời giải chi tiết

A. Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^o} \ne {45^o}.$ Vậy A sai.

B. Ta có: $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CF} ,\overrightarrow {CG} } \right) = {45^o}$ và  $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = AC.BC.\cos {45^o} = a\sqrt 2 .a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}.$

Vậy B đúng.

Chọn B

C. Dễ thấy $AC \bot BD$ nên $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0 \ne {a^2}\sqrt 2.$ Vậy C sai.

D. Ta có: $\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}$ $\Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  = BA.BD.\cos {45^o} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2} \ne  – {a^2}.$ Vậy D sai.