Giải bài 5 trang 70 sách bài tập toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} – 6x – 2y – 15 = 0$

a) Chứng tỏ rằng điểm $A\left( {0;5} \right)$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$

b) Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {0;5} \right)$

c) Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $8x + 6y + 99 = 0$

Lời giải chi tiết

$\left( C \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} – 6x – 2y – 15 = 0$ 

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 9 + {y^2} – 2y + 1 – 25 = 0\\ \Leftrightarrow {(x – 3)^2} + {(y – 1)^2} = 25 \end{array}$

$\Rightarrow$ (C) có tâm I(3;2) và bán kính R=5.

a) $A(0;5)$ thuộc (C) vì ${0^2} – 6.0 + 9 + {5^2} – 2.5 + 1 – 25 = 0$

b) + VTPT của PT tiếp tuyến tại A là $\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {IA}  = \left( { 3;-4} \right)$

PT tiếp tuyến tại A là $d: 3\left( {x – 0} \right) – 4\left( {y – 5} \right) = 0  \Rightarrow d: 3x – 4y + 20 = 0$

c) + $\Delta //8x + 6y + 99 = 0 \Rightarrow \Delta :8x + 6y + c = 0\left( {c \ne 99} \right)$

+ $d\left( {I,\Delta } \right) = R \Rightarrow \frac{{\left| {8.3 + 6.1 + c} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {6^2}} }} = 5 \Rightarrow \left| {c + 30} \right| = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 20\\c =  – 80\end{array} \right.$

Vậy $\Delta :8x + 6y + 20 = 0$ hoặc $\Delta :8x + 6y – 80 = 0$