Giải mục 1 trang 32, 33, 34 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

HĐ1

Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

${(a + b)^1} = a + b$

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$

${(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$

${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$

${(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}$

Với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ trong khai triển của mỗi nhị thức ${(a + b)^n}$:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?

Lời giải chi tiết:

Trong khai triển của mỗi nhị thức ${(a + b)^n}$:

a) Có $n + 1$ số hạng.

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.

c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.

Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.

Câu hỏi

Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.

Lời giải chi tiết:

Ta đã có hàng 6 từ Hoạt động 2 trang 33:

$\begin{array}{l}{(a + b)^6}\quad \quad 1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\{(a + b)^7}\quad \,1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\{(a + b)^7}\;\;1\quad 8\quad 28\quad 56\quad 70\quad 56\quad 28\quad 8\quad 1\end{array}$

Hàng 7: $1 + 6 = 7,{\rm{ }}6 + 15 = 21,{\rm{ }}15 + 20 = 35$

Hàng 8: $1 + 7 = 8,{\rm{ 7}} + 21 = 28,{\rm{ 21 + 35 = 56,}}\;{\rm{35 + 35 = 70}}$

Luyện tập 1

a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của ${(a + b)^7}$

b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của ${(2x – 1)^4}$

Phương pháp giải:

Dựa vào hàng tương ứng của tam giác Pascal

b) Viết khai triển của ${(a + b)^4}$rồi thay $a = 2x,b =  – 1$ vào khai triển nhận được.

Lời giải chi tiết:

a) Khai triển của ${(a + b)^7}$ có dạng

${(a + b)^7} = {a^7} + ?{a^6}b + ?{a^5}{b^2} + ?{a^4}{b^3} + ?{a^3}{b^4} + ?{a^2}{b^5} + ?a{b^6} + ?{b^7}$

Các hệ số trong khai triển này là các hệ số ở hàng 7 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay

${(a + b)^7} = {a^7} + 7{a^6}b + 21{a^5}{b^2} + 35{a^4}{b^3} + 35{a^3}{b^4} + 21{a^2}{b^5} + 7a{b^6} + {b^7}$

b) Ta viết khai triển của ${(a + b)^4}$rồi thay $a = 2x,b =  – 1$ vào khai triển nhận được.

Dựa vào hàng 4 của tam giác Pascal, ta có

${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$

Với $a = 2x,b =  – 1$ ta được:

$\begin{array}{l}{(2x – 1)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}\left( { – 1} \right) + 6.{\left( {2x} \right)^2}{\left( { – 1} \right)^2} + 4.2x.{\left( { – 1} \right)^3} + {\left( { – 1} \right)^4}\\ = 16{x^4} – 32{x^3} + 24{x^2} – 8x + 1\end{array}$

HĐ3

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

${(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b$

${(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}$

${(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}$

${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = …$

${(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = …$

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn $C_4^1$ và $C_4^3$, $C_5^2$ và $C_5^3$. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_n^k$ và $C_n^{n – k}(0 \le k \le n)$

b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_1^0 + C_1^1$ và $C_2^1$, $C_2^0 + C_2^1$ và $C_3^1,…$ Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k$ và $C_n^k.$

Lời giải chi tiết:

a) ${(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3a{b^3} + C_4^4{b^4}$

$\begin{array}{l}{(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\\ = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\end{array}$

Dễ thấy $C_4^1 = C_4^3$ , $C_5^2 = C_5^3$. Dự đoán $C_n^k = C_n^{n – k}(0 \le k \le n)$

b) Từ tính chất trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó.

Ta suy ra: $C_1^0 + C_1^1 = C_2^1$, $C_2^0 + C_2^1 = C_3^1$

Dự đoán: $C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k = C_n^k.$

Câu hỏi

Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp

Phương pháp giải:

$C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}}$

Lời giải chi tiết:

Tính chất đối xứng

$C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n – k} \right)!\left[ {n – (n – k)} \right]!}} = C_n^{n – k}$

Hệ thức Pascal

$\begin{array}{l}C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k = \frac{{(n – 1)!}}{{(k – 1)!\left( {n – k} \right)!}} + \frac{{(n – 1)!}}{{k!\left( {n – 1 – k} \right)!}}\\ = \frac{{(n – 1)!}}{{(k – 1)!\left( {n – k – 1} \right)!}}\left( {\frac{1}{{n – k}} + \frac{1}{k}} \right)\\ = \frac{{(n – 1)!}}{{(k – 1)!\left( {n – k – 1} \right)!}}.\frac{n}{{(n – k).k}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n – k} \right)!}} = C_n^k\end{array}$