Giải mục 2 trang 58 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

HĐ 2

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta xét parabol (P) với phương trình chính tắc ${y^2} = 2px$ trong đó $p > 0$ (Hình 20)

a) So sánh khoảng cách từ MF từ điểm M đến tiêu điểm F và khoảng cách MK từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$

b) Tính độ dài đoạn thẳng MK. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng MF

Phương pháp giải:

Cho parabol có PTCT: ${y^2} = 2px$ trong đó $p > 0$

+ Tiêu điểm: $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$

+ Đường chuẩn: $\Delta 😡 =  – \frac{p}{2}$

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách MF từ điểm M đến tiêu điểm F bằng khoảng cách MK từ điểm M đến đường chuẩn $\Delta$

b) Ta có

$MF = \sqrt {{{\left( {x – \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} – px + \frac{{{p^2}}}{4} + 2px}  = \sqrt {{x^2} + px + \frac{{{p^2}}}{4}}  = \sqrt {{{\left( {x + \frac{p}{2}} \right)}^2}}  = x + \frac{p}{2}$

Phương trình đường chuẩn $\Delta 😡 =  – \frac{p}{2} \Rightarrow \Delta 😡 + 0y + \frac{p}{2} = 0$

Khoảng cách MK từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ là: $MK = \frac{{\left| {x + 0y + \frac{p}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {x + \frac{p}{2}} \right| = x + \frac{p}{2}$

Vậy $MF = MK = x + \frac{p}{2}$

Luyện tập

a) Lập phương trình chính tắc của parabol (P), biết phương trình đường chuẩn là $x =  – 2$

b) Tìm tọa độ tiêu điểm của parabol (P)

c) Tìm tọa độ điểm M thuộc parabol (P), biết khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 6

Phương pháp giải:

Cho parabol có PTCT: ${y^2} = 2px$ trong đó $p > 0$

+ Tiêu điểm: $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$

+ Đường chuẩn: $\Delta 😡 =  – \frac{p}{2}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có phương trình đường chuẩn $x =  – 2 \Rightarrow \frac{p}{2} = 2 \Rightarrow p = 4$

Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là ${y^2} = 8x$

b) Tiêu điểm của parabol (P) là $F\left( {2;0} \right)$

c) Khoảng cách từ M đến tiêu điểm $F\left( {2;0} \right)$ bằng 6 nên $x + \frac{p}{2} = 6 \Rightarrow x + 2 = 6 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow {y^2} = 8.4 \Rightarrow y =  \pm 4\sqrt 2$

Vậy $M\left( {4; \pm 4\sqrt 2 } \right)$