Bài 14 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Dựng tam giác $ABC$, biết $BC = 4cm$, góc $\widehat {A} = 60^0$, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng $1cm$.

Lời giải chi tiết

Phân tích:  

Giả sử dựng được ΔABC thỏa mãn điều kiện.

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

$\widehat {BOC} = 180^\circ  – \left( {\widehat {OBC} + \widehat {OCB}} \right) \\= 180^\circ  – \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right)$ $= 180^\circ  – \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ  – \widehat A} \right) \\= 180^\circ  – \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ  – 60^\circ } \right) = 120^\circ$

⇒ O thuộc cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC bằng 1

⇒ O cách BC 1cm

⇒ O thuộc d // BC và cách BC 1cm.

Vậy O là giao của cung chứa góc 120º dựng trên đoạn BC và đường thẳng d.

Cách dựng:

Dựng $BC = 4cm$ và đường thẳng $(d)$ song song với $BC$ và cách $BC$ một khoảng là $1cm.$

Tâm $O$ của đường tròn nội tiếp $∆ABC$ là giao điểm của đường thẳng $(d)$ với cung chứa góc ${120^0}$ dựng trên đoạn $BC$ cố định.

Qua $B$ và $C$ vẽ các tiếp tuyến với $(O;1cm)$, chúng cắt nhau tại $A.$ Tam giác $ABC$ là tam giác phải dựng. 

Chứng minh: 

+ Theo cách dựng có BC = 4cm .

+ O thuộc cung 120º dựng trên đoạn BC $\Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}$

+ A là giao của 2 tiếp tuyến

⇒ (O; 1cm) tiếp xúc với AB và AC

Mà khoảng cách từ O đến BC = 1cm

⇒ (O; 1cm) cũng tiếp xúc với BC

⇒ (O; 1cm) là đường tròn nội tiếp ΔABC

$\Rightarrow \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\widehat {BOC}$$= \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}$

(số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm)

Vậy ΔABC có BC = 4cm, $\widehat {BAC} = {60^0}$ đường tròn nội tiếp có bán kính 1cm thỏa mãn yêu cầu.

Biện luận:

Vì d cắt m tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình $ΔABC$ và $ΔA’BC$ như hình vẽ.

Sachgiaihay.com