Bài 14 trang 142 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

CD là một đường kính của đường tròn (O), AB là một dây cung song song với CD. Vẽ dây cung AE song song với CB, gọi F là giao điểm các đường thẳng AB và DE. Đường thẳng đi qua F song song với BC cắt đường thẳng CD tại G. Chứng minh GA tiếp xúc với đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

Vì BC  // FG $\Rightarrow \widehat {DCB} = \widehat {DGF}$ (hai góc đồng vị bằng nhau).

Mà $\widehat {DCB} = \widehat {DAB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD) $\Rightarrow \widehat {DGF} = \widehat {DAB}$ hay $\widehat {DGF} = \widehat {DAF}$.

$\Rightarrow$ Tứ giác AFDG là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau) $\Rightarrow \widehat {GAD} = \widehat {GFD}$ (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung GD).

Gọi H là giao điểm của AC và GF.

Ta có: AE // FH $\Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {HFD}$ (hai góc đồng vị bằng nhau).

Mà $\widehat {AED} + \widehat {ACD} = {180^0}$ (Tứ giác ACDE là tứ giác nội tiếp) $\Rightarrow \widehat {HFD} + \widehat {ACD} = {180^0}$

Lại có $\widehat {ACD} + \widehat {ACG} = {180^0}$ (hai góc kề bù) $\Rightarrow \widehat {HFD} = \widehat {ACG}$ hay $\widehat {GFD} = \widehat {ACG}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {GAD} = \widehat {ACG}$.

Xét tam giác GAC và tam giác GDA có:

$\widehat G$ chung;

$\widehat {ACG} = \widehat {GAD}\,\,\left( {cmt} \right)$;

$\Rightarrow \Delta GAC \sim \Delta GDA\,\,\left( {g.g} \right)$ $\Rightarrow \widehat {GAC} = \widehat {GDA}$ (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat {GDA}$ là góc nội tiếp chắn cung AC).

$\widehat {GAC}$ là góc ở vị trí tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC.

Lại có $\widehat {GAC} = \widehat {GDA}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow$ AG là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ hay GA tiếp xúc với đường tròn (O) (đpcm).

 Sachgiaihay.com