Giải bài 9.66 trang 69 sách bài tập toán 8 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

a) Biết $AB = 3cm,AC = 4cm,$ hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.

b) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng $\Delta HMN\backsim \Delta ABC$

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat {BAC} = {90^0}$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25$ nên $BC = 5cm$

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên $AH \bot BC$.

Do đó, $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}$

Tam giác ABC và tam giác HAC có: $\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat C$ chung

Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}$ nên $CH = \frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{4^2}}}{5} = \frac{{16}}{5}\left( {cm} \right)$

Do đó, $BH = BC – CH = 5 – \frac{{16}}{5} = \frac{9}{5}\left( {cm} \right)$

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left( cmt \right)$ nên $\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}$

Do đó, $AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.4}}{5} = \frac{{12}}{5}\left( {cm} \right)$

b) Vì $HM \bot AB \Rightarrow \widehat {HMA} = {90^0}$, $HN \bot AC \Rightarrow \widehat {HNA} = {90^0}$

Tứ giác ANHM có: $\widehat {HMA} = \widehat {NAM} = \widehat {HNA} = {90^0}$ nên tứ giác ANHM là hình chữ nhật. Do đó, $\widehat {NHM} = {90^0}$

Gọi D là giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật NHMA nên $DH = DM$. Do đó, tam giác DHM cân tại D.

Suy ra, $\widehat {DHM} = \widehat {DMH}$

Lại có: $\widehat {DHM} = \widehat B\left( { = {{90}^0} – \widehat {MHB}} \right)$ nên $\widehat {DMH} = \widehat B$

Tam giác HMN và ABC có: $\widehat {NHM} = \widehat {BAC} = {90^0},\widehat {DMH} = \widehat B\left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta HMN\backsim \Delta ABC$(g – g)