Giải bài 4.57 trang 69 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) đều có độ dài cạnh bằng \(3a\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MC} \) bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)

B. \( – \frac{{{a^2}}}{2}\)

C. \({a^2}\)

D. \( – {a^2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  =  – \overrightarrow {AB}  – \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}  =  – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {MC}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {CB}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  – \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \left( { – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\(\begin{array}{l} =  – \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} – \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ =  – \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} – \frac{1}{9}.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ =  – \frac{1}{9}.9{a^2} + \frac{2}{9}.9{a^2} – \frac{1}{9}.9{a^2}.\cos {60^ \circ }\\ =  – {a^2} + 2{a^2} – {a^2}.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)

Chọn A.