Giải bài 2 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):

a) \({3^n} – 1 – 2n\) chia hết cho 4.

b) \({7^n} – {4^n} – {3^n}\) chia hết cho 12.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({3^1} – 1 – 2 = 0 \vdots 4\)

Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\)

Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({3^k} – 1 – 2k\) chia hết cho 4

Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({3^{k + 1}} – 1 – 2(k + 1)\) chia hết cho 4

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

\({3^{k + 1}} – 1 – 2(k + 1) = {3^{k + 1}} – 3 – 2k = 3.\left( {{3^k} – 1 – 2k} \right) + 4k\) chia hết cho 4.

Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

b) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({7^1} – {4^1} – {3^1} = 0 \vdots 12\)

Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\)

Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({7^k} – {4^k} – {3^k}\) chia hết cho 12

Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({7^{k + 1}} – {4^{k + 1}} – {3^{k + 1}}\) chia hết cho 12

Sử dụng giả thiết quy nạp, lưu ý \(k \ge 1\), ta có

\({7^{k + 1}} – {4^{k + 1}} – {3^{k + 1}} = {7.7^k} – {4.4^k} – {3.3^k} = 7\left( {{7^k} – {4^k} – {3^k}} \right) + {3.4^k} + {4.3^k}\) chia hết cho 12.

Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).