Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau:

Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàn thì cứ sau mỗi kì hạn, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là \({S_n} = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^{m.n}}\) (đồng), nếu trongg khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh: “Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau p (kì hạn) gửi là \({T_p} = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^p}\) (đồng).”

Như vậy, do mỗi năm có m kì hạn nên sau n năm tương ứng là m.n kì hạn, từ đó ta suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là \({S_n} = {T_{m.n}} = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^{m.n}}\) (đồng), là điều phải chứng minh.

+ Chứng minh: “Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau p (kì hạn) gửi là \({T_p} = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^p}\) (đồng).”

Bước 1: Khi \(p = 1\) ta có

Lãi suất của m kì hạn (hay 1 năm) là r% => Lãi suất của mỗi kì hạn là \(\frac{{r\% }}{m} = \frac{r}{{100m}}\)

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau 1 (kì hạn) gửi là: \(A + A.\frac{r}{{100m}} = A{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^1} = {T_1}\) (đồng)

Như vậy mệnh đề đúng với \(p = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:

“Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau \(k + 1\) (kì hạn) gửi là \({T_{k + 1}} = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^{k + 1}}\) (đồng).”

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

“Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là \({T_k} = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^k}\) (đồng).”

=> Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau \(k + 1\) (kì hạn) gửi là:

\(\begin{array}{l}A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^k} + A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^k}.\frac{r}{{100m}}\\ = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^k}\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)\\ = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^{k + 1}} = {T_{k + 1}}\end{array}\)

Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(p \in \mathbb{N}*\).

Như vậy sau n năm (tương ứng là m.n kì hạn) thì số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là \({S_n} = A.{\left( {1 + \frac{r}{{100m}}} \right)^{m.n}}\)(đồng).