Bài 5 trang 132 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:

 \(\displaystyle \left( {{{2 + \sqrt x } \over {x + 2\sqrt x  + 1}} – {{\sqrt x  – 2} \over {x – 1}}} \right).{{x\sqrt x  + x – \sqrt x  – 1} \over {\sqrt x }}.\)

Lời giải chi tiết

ĐKXĐ: \(0 < x ≠ 1\).

\(\begin{array}{l}
\left( {\dfrac{{2 + \sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}} – \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{x – 1}}} \right).\dfrac{{x\sqrt x + x – \sqrt x – 1}}{{\sqrt x }}\\
= \left[ {\dfrac{{2 + \sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} – \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}} \right].\dfrac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right) – \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
= \dfrac{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x – 1} \right) – \left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x – 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
= \dfrac{{x + \sqrt x – 2 – \left( {x – \sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\
= \dfrac{{x + \sqrt x – 2 – x + \sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }} = 2.
\end{array}\)

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là \(2\) và không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x.\)

Sachgiaihay.com