Giải bài 5 trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình h biến mỗi điểm M(x; y) thành điểm M’(x; y), trong đó

$\left\{ \begin{array}{l}x’ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x – \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\\y’ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}y\end{array} \right.$

Hãy chứng minh h là một phép dời hình.

Lời giải chi tiết

Lấy hai điểm bất kì $M({x_1};{\rm{ }}{y_1}),{\rm{ }}N({x_2};{\rm{ }}{y_2}).$

Suy ra $MN = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}}$.

Ta có ảnh của M, N qua phép biến hình h là ${\rm{M’}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1};\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right),{\rm{N’}}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2}} \right)$

Khi đó

${\rm{M’N’}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{x}}_1} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}{{\rm{y}}_1}} \right)}^2}}$

$\begin{array}{l} = \sqrt {\frac{1}{2}{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{y}}_2} – {{\rm{x}}_1} + {{\rm{y}}_1}} \right)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {{{\rm{x}}_2} + {{\rm{y}}_2} – {{\rm{x}}_1} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sqrt {{{\left[ {\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right) – \left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right) + \left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)} \right]}^2}} \end{array}$

$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sqrt {2{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + 2{{\left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}}$ (khai triển bình phương)

$\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}_2} – {{\rm{x}}_1}} \right)}^2} + {{\left( {{{\rm{y}}_2} – {{\rm{y}}_1}} \right)}^2}} \\ = {\rm{ }}MN\end{array}$

Vậy h là một phép dời hình.