Bài 9 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình ${x^2} – mx + m – 2 = 0$ (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $\dfrac{{{x_1}^2 – 2}}{{{x_1} – 1}}.\dfrac{{{x_2}^2 – 2}}{{{x_2} – 1}} = 4$

Lời giải chi tiết

Cho phương trình ${x^2} – mx + m – 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ (m là tham số)

a) Xét

$\Delta  = {\left( { – m} \right)^2} – 4\left( {m – 2} \right)$$\, = {m^2} – 4m + 8 = {m^2} – 2.2.m + 4 + 4$$\,= {\left( {m – 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall m$

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (1) ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = m – 2\end{array} \right.$

Nếu $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 – m + m – 2 = 0$

$\Leftrightarrow  – 1 = 0\left( {ktm} \right) \Rightarrow {x_1} \ne 1;{x_2} \ne 1$

$\begin{array}{l}\dfrac{{{x_1}^2 – 2}}{{{x_1} – 1}}.\dfrac{{{x_2}^2 – 2}}{{{x_2} – 1}} = 4\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 – 2} \right).\left( {{x_2}^2 – 2} \right) = 4\left( {{x_1} – 1} \right).\left( {{x_2} – 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1}^2.{x_2}^2 – 2{x_1}^2 – 2{x_2}^2 + 4 = 4\left( {{x_1}{x_2} – {x_1} – {x_2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} – 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 4 – 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} – 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 2{x_1}{x_2}} \right] – 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} – 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} – 4{x_1}{x_2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} – 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m – 2} \right)^2} – 2.{m^2} + 4.m = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – 4m + 4 – 2{m^2} + 4m = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} = 4\\ \Leftrightarrow m =  \pm 2\end{array}$

Vậy $m = 2$ hoặc $m = -2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Sachgiaihay.com