Giải bài 4.7 trang 50 sách bài tập toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương. Chứng minh rằng

$\left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$

Lời giải chi tiết

Gọi điểm $O$ bất kỳ, vẽ vectơ $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b$

Vì hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương nên $O,\,\,A,\,\,B$ không thẳng hàng.

Xét $\Delta ABC,$ áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$\begin{array}{l}OA – AB < OB < OA + AB\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\end{array}$