Giải bài 2.3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Chứng minh rằng \({n^3} – n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh (3) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({0^3} – 0 + 3 = 3\) chia hết cho 3.

Vậy (3) đúng với \(n = 1\)

Giải sử (3) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^3} – k + 3\) chia hết cho 3

Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({(k + 1)^3} – (k + 1) + 3\) chia hết cho 3

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} – (k + 1) + 3 = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 – k – 1 + 3\\ = {k^3} + 3{k^2} + 2k + 3 = ({k^3} – k + 3) + 3{k^2} + 3k\\ = ({k^3} – k + 3) + 3({k^2} + k)\end{array}\)

Chia hết cho 3 do \({k^3} – k + 3 \vdots 3\)

Vậy (3) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).