Đề kiểm tra 15 phút – Đề số 4 – Bài 1 – Chương 1 – Hình học 9

Đề bài

Cho $∆ABC$ vuông tại A, biết ${{AB} \over {AC}} = {2 \over 3},$ đường cao $AH = 6cm$. Tính các cạnh của tam giác.

Lời giải chi tiết

Ta có: $∆AHB$ đồng dạng $∆CHA$ (g.g) (vì có $\widehat {BAH} = \widehat C$ (cùng phụ với $\widehat B$ ))

$\Rightarrow {{HA} \over {HC}} = {{AB} \over {AC}} = {2 \over 3}$

$\Rightarrow HC = {3 \over 2}HA = {3 \over 2}.6 = 9\,\left( {cm} \right)$
Tương tự: ${{HA} \over {HB}} = {{AC} \over {AB}} = {3 \over 2}$

$\Rightarrow HB = {2 \over 3}HA = {2 \over 3}.6 = 4\,\left( {cm} \right)$

Do đó: $BC = HB + HC = 4 + 9 = 13 (cm)$ 

$∆ABC$ vuông tại A, đường cao AH.

$\Rightarrow A{B^2} = BC.BH$ (định lí 1)

$\Rightarrow AB = \sqrt {BC.BH}  = \sqrt {13.4}  = 2\sqrt {13}$$\;(cm)$

Tương tự, ta có:

$AC = \sqrt {BC.CH}  = \sqrt {13.9}  = 3\sqrt {13}$$\,\left( {cm} \right)$

Cách khác: Gọi cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b, c; đường cao là h.

Ta có: ${c \over b} = {2 \over 3} \Rightarrow b = {3 \over 2}c$

Mặt khác ∆ABC vuông có h là đường cao:

$\eqalign{  & {1 \over {{h^2}}} = {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}\cr&hay\,\,{1 \over {{6^2}}} = {1 \over {{{\left( {{3 \over 2}c} \right)}^2}}} + {1 \over {{c^2}}}\cr& \Leftrightarrow {1 \over {{6^2}}} = {4 \over {9{c^2}}} + {1 \over {{c^2}}}  \cr  &  \Leftrightarrow {c^2} = 16 + 36\cr& \Leftrightarrow {c^2} = 52 \Leftrightarrow c = 2\sqrt {13} \,\left( {cm} \right) \cr}$

Do đó $b = {3 \over 2}.2\sqrt {13}  = 3\sqrt {13} \,\left( {cm} \right)$

 Sachgiaihay.com