Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 – Kết nối tri thức

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y =  – {x^2} + 4x,\) biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1;\)

b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0.\)

Lời giải chi tiết

Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ – {x^2} + 4x + x_0^2 – 4{x_0}}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ – \left( {{x^2} – x_0^2} \right) + 4\left( {x – {x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x – {x_0}} \right)\left( { – x – {x_0} + 4} \right)}}{{x – {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { – x – {x_0} + 4} \right) =  – 2{x_0} + 4\)

Vậy hàm số \(y =  – {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y’ =  – 2x + 4\)

a) Ta có \(y’\left( 1 \right) =  – 2.1 + 4 = 2\)

Ngoài ra , \(f\left( 1 \right) = 3\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y – 3 = 2\left( {x – 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)

b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( – x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y’\left( 0 \right) = 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\)

+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y’\left( 4 \right) =  – 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

\(y =  – 4\left( {x – 4} \right)\) hay \(y =  – 4x + 16\)