Bài 8 trang 224 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.

LG 1

Chứng minh rằng SBC là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

(h.l 12a)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có AI $\bot$ BC. Do (SBC) $\bot$ (ABC) nên AI $\bot$ mp(SBC), suy ra $\Delta$SAI vuông tại I.

Các tam giác vuông SAI, BAI có IA chung, AB = AS, do đó IB = IS, mặt khác IB = IC, suy ra tam giác SBC vuông ở S.

LG 2

Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết $SC = {{3a} \over 2}.$

Lời giải chi tiết:

Vì IB = IC = IS và AI $\bot$ (SBC) nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc đường thẳng AI, suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi J là giao điểm thứ hai của AI (h.l 12b) và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì AJ = 2R và AB² = AI.AJ hay a² = AI.2R

 $\Rightarrow R = {{{a^2}} \over {2AI}}.$           (1)

Mặt khác

$B{C^2} = S{B^2} + {\rm{ }}S{C^2} = {a^2} + {{9{a^2}} \over 4} = {{13{a^2}} \over 4}$

Và $A{I^2} = A{B^2} – B{I^2} = {a^2} – {{B{C^2}} \over 4}$

               $= {a^2} – {{13{a^2}} \over {16}} = {{3{a^2}} \over {16}} \Rightarrow AI = {{a\sqrt 3 } \over 4}.$ (2)

Thay (2) vào (1) ta có $R{\rm{ }} = {{2a} \over {\sqrt 3 }}.$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là ${4 \over 3}\pi {{8{a^3}} \over {3\sqrt 3 }} = {{32\pi {a^3}} \over {9\sqrt 3 }}.$

Sachgiaihay.com