Bài 9 trang 224 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.

LG 1

Chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc đường cao SH của hình chóp.

Lời giải chi tiết:

Vì A, B, A‘, B‘ cùng thuộc một mặt cầu và A‘B‘//AB nên ABBA‘ là hình thang cân, từ đó SA = SB. Lập luận tương tự ta có SB = SC.

Vậy SA = SB = SC.

Suy ra đường cao SH của hình chóp S.ABC chính là trục của tam giác ABC. Do đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC thuộc SH.

LG 2

Cho góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°, chứng minh rằng H là tâm của mặt cầu đi qua sáu điểm A, B,C, A’ ,B’ ,C’.

Khi đó, hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh H chính là tâm của mặt cầu đi qua các điểm A, B, C, A‘, B‘, C‘, Thật vậy, do SH $\bot$ mp(ABC) nên  từ đó $HC{\rm{ }} = {1 \over 2}SC,$ mặt khác C‘S = C‘C nên$HC’ = {1 \over 2}SC$.

Từ chứng minh trên ta có HA = HB = HC = HC‘ = HA‘ = HB’, tức H là tâm của mặt cầu đi qua A, B, C, A‘, B‘, C‘.

Gọi G là trung điểm của C‘C thì HG $\bot$ SC. Kẻ C‘H‘ song song với GH $\left( {H’ \in SH} \right)$ thì H‘S = H‘C, từ đó H‘ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và H‘S là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Ta có $H'{S^2} = H’C{‘^2} + SC'{^2}$ ,mặt khác

$H’C’ = {2 \over 3}HG,HG = {{R\sqrt 3 } \over 2},SC’ = {{SC} \over 2} = R.$

Từ đó $H'{S^2} = {\left( {{2 \over 3}.{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {R^2} = {{{R^2}} \over 3} + {R^2} = {{4{R^2}} \over 3}.$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là ${{16\pi {R^2}} \over 3}.$

Sachgiaihay.com