Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}$ . a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho. b) Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)$ .

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}$ .

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)$ .

Phương pháp giải – Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng K và ${x_0} \in K$ . Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

b) + Sử dụng kiến thức về của hàm số để tính:

– Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = L > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } g\left( x \right) = – \infty$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = – \infty$

– Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L > 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = + \infty$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = + \infty$

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = M$ , khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M$ , $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}$

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$ (với c là hằng số, k là số nguyên dương)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số f(x) xác định khi $x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3$ . Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là $D = \left( { – \infty ;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$ . Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên $\left( { – \infty ;3} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ .

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{3}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{3}{x}}} = 2$ .

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x – 3}} = + \infty$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x – 3}}} \right] = + \infty$

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{1}{{x – 3}} = – \infty$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x – 3}}} \right] = – \infty$