Giải bài 14 trang 96 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

a) Biểu thị các vecto $\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {AN}$ theo các vecto $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}$

b) Tính $\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AM}  =  – \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$ (do M là trung điểm của AB)

$\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}$ (do N là trung điểm của BC)

b)

$\begin{array}{l}\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN}  = \left( { – \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\\ =  – \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  – \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \end{array}$

Mà $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = 0$ (do $AB \bot AD$), ${\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = {a^2};{\overrightarrow {AD} ^2} = A{D^2} = {a^2}$

$\Rightarrow \overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN}  =  – 0 – \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{4}.0 = 0$

Vậy $DM \bot AN$ hay góc giữa hai đường thẳng DM và AN bằng ${90^ \circ }$.