Giải bài 2 trang 97 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

a)  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN}$

b)  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}$

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND}  \\=  \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) \\=  \overrightarrow 0  + 2\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow 0  = 2\overrightarrow {MN}$ (đpcm)                                                             

b) $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}$

$\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {ND}$

$\left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN}$

Mặt khác ta có: $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN}$

Suy ra $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}$

Cách 2: 

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} – \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} (đpcm) \end{array}$