Giải bài tập 1.18 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{3 – x}}{{2x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{3}{x} – 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} =  – \frac{1}{2}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{\frac{3}{x} – 1}}{{2 + \frac{1}{x}}} =  – \frac{1}{2}\)

Do đó, đường thẳng \(y = \frac{{ – 1}}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 – x}}{{2x + 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ – }} \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} =  – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – \frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{3 – x}}{{2x + 1}} =  + \infty \)

Do đó, đường thẳng \(x = \frac{{ – 1}}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 – x}}{{2x + 1}}\).

b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] =  – \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x\frac{{\left( {2 + \frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)}}} \right] =  + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}\) không có tiệm cận ngang.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ – }} \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} =  – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – {2^ + }} \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} =  + \infty \)

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận đứng là \(x =  – 2\)

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = 2x – 3 + \frac{5}{{x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {2x – 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {2x – 3 + \frac{5}{{x + 2}} – \left( {2x – 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {2x – 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \left[ {2x – 3 + \frac{5}{{x + 2}} – \left( {2x – 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{5}{{x + 2}} = 0\)

Do đó, đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}\) có tiệm cận xiên là: \(y = 2x – 3\).