Giải mục 2 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

HĐ4

Quan sát khai triển nhị thức của ${(a + b)^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$ ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Quan sát khai triển nhị thức của ${(a + b)^n}$ với $n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$, ta thấy:

+ Công thức khai triển có n+1 số hạng,

+ Từ trái qua phải:

Hệ số khai triển của các số hạng lần lượt là $C_n^0,C_n^1,…,C_n^n$.

Số mũ của a giảm dần từ n về 0.

Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.

=> Dự đoán ${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}$

Luyện tập 2

Khai triển ${(x – 2y)^6}$

Phương pháp giải:

Áp dụng ${(a + b)^6} = C_6^0{a^6} + C_6^1{a^5}b + C_6^2{a^4}{b^2} + C_6^3{a^3}{b^3} + C_6^4{a^2}{b^4} + C_6^5a{b^5} + C_6^6{b^6}$

Với $a = x,b =  – 2y$

Lời giải chi tiết:

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{(x – 2y)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}.2y + C_6^2{x^4}{\left( {2y} \right)^2} + C_6^3{x^3}{\left( {2y} \right)^3} + C_6^4{x^2}{\left( {2y} \right)^4} + C_6^5x{\left( {2y} \right)^5} + C_6^6{\left( {2y} \right)^6}\\ = 1.{x^6} + 6.{x^5}.2y + 15.{x^4}.4{y^2} + 20{x^3}.8{y^3} + 15{x^2}16{y^4} + 6x.32{y^5} + 1.64{y^6}\\ = {x^6} + 12{x^5}y + 60{x^4}{y^2} + 160{x^3}{y^3} + 240{x^2}{y^4} + 192x{y^5} + 64{y^6}\end{array}$

Luyện tập 3

Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${(2 – 3x)^{10}}$

Phương pháp giải:

Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${(ax + b)^n}$ là $C_n^{n – k}{(ax)^k}{b^{n – k}}$

Do đó hệ số của ${x^k}$ trong khai triển của ${(ax + b)^n}$ là $C_n^{n – k}{a^k}{b^{n – k}}$

Lời giải chi tiết:

Vì ${(2 – 3x)^{10}} = {( – 3x + 2)^{10}}$ nên

Số hạng chứa ${x^k}$ trong khai triển của ${(2 – 3x)^{10}}$ hay ${( – 3x + 2)^{10}}$là $C_{10}^{10 – k}{( – 3x)^k}{2^{10 – k}}$

Số hạng chứa ${x^7}$ ứng với $k = 7$, tức là số hạng $C_{10}^3{( – 3x)^7}{2^3}$ hay $– 2099520{x^7}$

Vậy hệ số của ${x^7}$ trong khai triển của ${(2 – 3x)^{10}}$ là $– 2099520$

Vận dụng

a) Viết khai triển nhị thức Newton của ${(1 + x)^n}$

b) Cho $x = 1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng $C_n^k(0 \le k \le n)$ chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho $x =  – 1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải chi tiết:

a) ${(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + … + C_n^n{x^n}$

b) Thay $x = 1$ trong khai triển ở câu a), ta được:

${2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n$

Với $C_n^k(0 \le k \le n)$ chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.

=> Số tập con của tập có n phần tử là: ${2^n}$

c) Thay $x =  – 1$ trong khai triển ở câu a), ta được:

$\begin{array}{l}0 = C_n^0 – C_n^1 + C_n^2 + … + {( – 1)^n}C_n^n{x^n}\\ \Leftrightarrow C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + … = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + …\end{array}$

Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.