Giải bài 3.22 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết phương trình đường conic biết tâm sai bằng $e = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$, một tiêu điểm $F( – 1;0)$ và đường chuẩn tương ứng \(\Delta + y + 1 = 0\)

Lời giải chi tiết

Điểm $M(x;y)$ thuộc đường conic khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2}}  = \frac{{\left| {x + y + 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow 4\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2}} \right] = {\left( {x + y + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4.\left( {{x^2} + {y^2} + 2x + 1} \right) = {x^2} + {y^2} + 2x + 2y + 2xy + 1\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} – 2xy + 6x – 2y + 3 = 0\end{array}$

Vậy đường conic có phương trình là $3{x^2} + 3{y^2} – 2xy + 6x – 2y + 3 = 0$

Vì $0 < \frac{1}{{\sqrt 2 }} < 1$ nên đường conic là đường elip.