Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: \(1 + q + {q^2} + … + {q^{n – 1}} = \frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 – {q^1}}}{{1 – q}}\) hiển nhiên đúng với \(q \ne 1\)

Như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\(1 + q + {q^2} + … + {q^{k – 1}} + {q^k} = \frac{{1 – {q^{k + 1}}}}{{1 – q}}\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\(1 + q + {q^2} + … + {q^{k – 1}} = \frac{{1 – {q^k}}}{{1 – q}}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + … + {q^{k – 1}} + {q^k} = \frac{{1 – {q^k}}}{{1 – q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 – {q^k}}}{{1 – q}} + \frac{{{q^k} – {q^{k + 1}}}}{{1 – q}} = \frac{{1 – {q^k} + {q^k} – {q^{k + 1}}}}{{1 – q}} = \frac{{1 – {q^{k + 1}}}}{{1 – q}}\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).