Bài 37 trang 126 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB = 2R$, $Ax$ và $By$  là hai tiếp tuyến với  nửa đường tròn tại $A$ và $B$. Lấy trên tia $Ax$ điểm $M$ rồi vẽ tiếp tuyến $MP$ cắt $By$ tại $N$.

a) Chứng minh rằng $MON$  và $APB$ là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng $AM.BN = R^2$ 

c) Tính tỉ số $\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}$khi $AM$ = $\dfrac{R}{2}.$

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn $APB$ quay quanh $AB$ sinh ra.

Lời giải chi tiết

a) Xét nửa đường tròn $\left( O \right)$:

Vì PN và BN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ$

+ Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$OM$ là phân giác của $\widehat {AOP}$ $\Rightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}$ (1)

$ON$ là phân giác $\widehat {BOP} \Rightarrow \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}$ (2) và

Mà $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 180^\circ$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}}\\ = \dfrac{{\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$

Hay $\widehat {MON} = 90^\circ$

+ Lại có $\widehat {APB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác $OPNB$ có $\widehat {NPO} = \widehat {NBO} = 90^\circ$ nên $\widehat {NPO} + \widehat {NBO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ$ mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác $OPNB$  là tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat {PBO} = \widehat {PNO}$  (cùng nhìn cạnh $PO$)

Xét $\Delta MON$ và $\Delta APB$ có $\widehat {MON} = \widehat {APB}\left( { = 90^\circ } \right)$ và $\widehat {PBA} = \widehat {MNO}\,\left( {cmt} \right)$ nên $\Delta APB \backsim \Delta MON\left( {g – g} \right)$ (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn $\left( O \right)$ có  $MA,MP$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ và $NB,NP$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $N$ nên $MA = MP;NP = NB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác $MON$ vuông tại $O$ có $OP \bot MN$  (do $MN$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $O{P^2} = MP.PN$

Mà $MA = MP;NP = NB$ (cmt) và $OP = R$ nên $O{P^2} = MP.PN \Leftrightarrow {R^2} = AM.BN$ (đpcm)

c) Vì $AM = \dfrac{R}{2}$ mà $AM.BN = {R^2}$ (câu b) nên $BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}} = \dfrac{{{R^2}}}{{\dfrac{R}{2}}} = 2R$

Suy ra $MP = MA = \dfrac{R}{2};NP = NB = 2R \\\Rightarrow MN = MP + NP = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{5}{2}R.$ 

Vì $\Delta MON \backsim \Delta APB$ (câu a) nên tỉ số đồng dạng là $k = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}R}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}$

Suy ra tỉ số diện tích $\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\, = {k^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}$  (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn $APB$ quay sinh ra hình cầu bán kính $R$ nên thể tích hình cầu là $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.$