Bài 12 trang 58 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình ${x^2} – 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0$

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn ${x_1}^2 + 2(m + 1){x_2} + 2m – 3 = 0$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l}a = 1;b’ =  – \left( {m + 1} \right);c = 2m + 1;\\\Delta ‘ = {\left( {m + 1} \right)^2} – \left( {2m + 1} \right) \\\;\;\;\;\;= {m^2} + 2m + 1 – 2m – 1\\\;\;\;\;\; = {m^2} \ge 0,\forall m\end{array}$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc hai ta có: ${x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right);{x_1}{x_2} = 2m + 1$

Do x₁; x₂  là hai nghiệm của phương trình nên ta có:

${x_1}^2 – 2(m + 1){x_1} + 2m + 1 = 0$

$\Rightarrow {x_1}^2 = 2\left( {m + 1} \right){x_1} – 2m – 1$

Thay vào đề ta có:

$\begin{array}{l}2\left( {m + 1} \right){x_1} – 2m – 1 + 2(m + 1){x_2} + 2m – 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right).2.\left( {m + 1} \right) – 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 1\\m + 1 =  – 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  – 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m = 0$ hoặc $m = – 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Sachgiaihay.com