Bài 18 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Trên đường tròn (O ; R) vẽ dây cung AB sao cho số đo cung lớn AB gấp ba lần số đo cung nhỏ AB .

a) Tính số đo và chiều dài các cung đó.

b) Tính các góc của tam giác OAB và khoảng cách từ O đến dây AB.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: Số đo cung lớn AB = 3 số đo cung nhỏ AB.

Mà Số đo cung lớn AB +  số đo cung nhỏ AB = 360⁰

=>3 số đo cung nhỏ AB + số đo cung nhỏ AB = 360⁰

=> 4 số đo cung nhỏ AB = 360⁰

=> Số đo cung nhỏ AB$= \dfrac{1}{4}{.360^0} = {90^0} \Rightarrow$ Số đo cung lớn AB $= {3.90^0} = {270^0}$.

Chiều dài cung nhỏ AB là $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .R.90}}{{180}} = \dfrac{{\pi R}}{2}$

Chiều dài cung lớn AB là $l’ = \dfrac{{\pi Rn’}}{{180}} = \dfrac{{\pi R.270}}{{180}} = \dfrac{{3\pi R}}{2}$

b) Ta có: $\widehat {AOB} = sd\,cung\,AB = {90^0}$ (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn) $\Rightarrow \Delta OAB$ vuông tại O.

Lại có $OA = OB = R \Rightarrow \Delta OAB$ vuông cân tại O $\Rightarrow \widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {45^0}$.

Gọi H là trung điểm của AB $\Rightarrow OH \bot AB$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

$\Rightarrow$ Khoảng cách từ O đến dây AB chính bằng OH.

Xét tam giác vuông OAB có : $AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}}  = \sqrt {{R^2} + {R^2}}$$\,  = \sqrt {2{R^2}}  = R\sqrt 2$

$\Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$ (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Vậy khoảng cách từ O đến dây AB bằng $\dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}$.

 Sachgiaihay.com