Giải mục 3 trang 55, 56 SGK Toán 11 tập 1 – Cánh Diều

HĐ 3

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q \ne 1\)

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + … + {u_n} = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^{n – 1}}\)

a)    Tính \({S_n}.q\) và \({S_n} – {S_n}.q\)

b)    Từ đó, hãy tìm công thức tính \({S_n}\) theo \({u_1}\) và q

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính cấp số cộng để tính

Lời giải chi tiết:

a)    Ta có:

\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^{n – 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + … + {q^{n – 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_n} – {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + … + {u_1}{q^{n – 1}} – {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + … + {q^{n – 1}}} \right) – {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + … + {q^{n – 1}} – \left( {q + {q^2} + {q^3} + … + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)\end{array}\)

b)    Ta có: \({S_n} – {S_n}.q = {u_1}\left( {1 – {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 – q} \right) = {u_1}\left( {1 – {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{\left( {1 – q} \right)}}\)

LT – VD 4

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

a) 3; – 6; 12; – 24; … với n = 12;

b) \(\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},…\) với n = 5.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; … là cấp số nhân với \(u_1 = 3\) và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\(S_{12}=\frac{3(1−(−2)^{12})}{1−(−2)} = 12 285 \).

b) Ta có: \(\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},…\) là một cấp số nhân với \(u_1 = \frac{1}{10} \) và công bội \(q=\frac{1}{10}\)

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\(S_5=\frac{\frac{1}{10}(1-(\frac{1}{10})^5)}{1−\frac{1}{10}}= 0,1111\).