Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 11 – Cánh diều

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x – 2} \right|\) không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 2,\) nhưng có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 2.\)

Lời giải chi tiết

* Xét \(x > 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x – 2} \right| = x – 2.\)

Tại \({x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + \Delta x – 2 – {x_0} + 2 = \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = 1.\)

* Xét \(x < 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x – 2} \right| = 2 – x.\)

Tại \({x_0} \in \left( { – \infty ; – 2} \right)\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) – f\left( {{x_0}} \right) = 2 – \left( {{x_0} + \Delta x} \right) + {x_0} – 2 =  – \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ – \Delta x}}{{\Delta x}} =  – 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}  – 1 =  – 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) =  – 1.\)

* Xét tại \(x = 2,\) gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0} = 2.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ – }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}  – 1 =  – 1.\)

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 2.\)