Giải bài 5 trang 82 SGK Toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho $\Delta ABC \backsim \Delta MNP$.

a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh $\Delta ABD \backsim \Delta MNQ$.

b) Gọi G và K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP. Chứng minh $\Delta ABG \backsim \Delta MNK$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\Delta ABC \backsim \Delta MNP$ suy ra $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BC}}{{NP}}\,\,\left( 1 \right)$ và $\widehat B = \widehat N$

Mà D là trung điểm BC và Q là trung điểm NP nên $BC = 2BD$ và $NP = 2NQ$

Thay vào biểu thức (1) ta được $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{2BD}}{{2NQ}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BD}}{{NQ}}$

Xét tam giác ABD và tam giác MNQ có:

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{BD}}{{NQ}}$ và $\widehat B = \widehat N$

$\Rightarrow \Delta ABD \backsim \Delta MNQ$ (c-g-c)

b) Vì $\Delta ABD \backsim \Delta MNQ$ nên ta có $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AD}}{{MQ}}\,\,\left( 2 \right)$ và $\widehat {BAD} = \widehat {NMQ}$ hay $\widehat {BAG} = \widehat {NMK}$

Mà G và K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP nên $AD = \frac{3}{2}AG$ và $MQ = \frac{3}{2}MK$.

Thay vào (2) ta được: $\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{\frac{3}{2}AG}}{{\frac{3}{2}MK}} \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AG}}{{MK}}$

Xét tam giác ABG và tam giác NMK có:

$\frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{AG}}{{MK}}$ và $\widehat {BAG} = \widehat {NMK}$

$\Rightarrow$$\Delta ABG \backsim \Delta MNK$ (c-g-c)